一個美麗的誤會：托勒密的錯誤讓哥倫布「勇闖」美洲

一個美麗的誤會：托勒密的錯誤讓哥倫布「勇闖」美洲

尚作仁船長編撰

 

兩千多年前，埃拉托色尼(Eratosthenes)透過比較兩個地點太陽光線的位置，計算出了地球的周長，並且取得了相當高的精確度。

埃拉托色尼出生於當時希臘殖民地昔蘭尼(Cyrene)，即今日的利比亞沙哈特市(Shahhat)。年輕時，他前往雅典求學，在學術上取得了卓越的成就，以至於埃及的希臘統治者將他帶到亞歷山大，擔任自己兒子的老師。西元前236年，著名的亞歷山大圖書館首席館長去世，埃拉托色尼在40歲左右被任命為館長。

埃拉托色尼才華洋溢，集圖書館員、地理學家、數學家、天文學家、歷史學家和詩人於一身。他在圖書館的朋友們給他取了個綽號叫「五項全能」(Pentathlos)。這個綽號似乎很貼切地形容了一位在多個領域都卓有成就的學者。埃拉托色尼的大部分著作已經失傳，但其他學者記錄了他的工作和發現—這些工作和發現非常廣泛。

 

研究地球

埃拉托色尼可能是第一個使用「地理學」(Geography)一詞的人。他發明了經緯度系統，並繪製了已知世界的地圖。他也設計了一種尋找質數的方法(質數是指只能被自身或1整除的整數)。這種方法至今仍在使用，被稱為「埃拉托色尼篩法」。埃拉托色尼也是第一個計算出地球自轉軸傾角的人，他的計算結果極為精確；歐洲中世紀天文學與地理學權威托勒密(Claudius Ptolemy，西元85-165年)記載了這項發現。埃拉托色尼也計算了地球到月球和太陽的距離，但精度稍遜。他還編纂了一份包含675顆恆星的星表。他也制定了閏年曆，並透過整理從特洛伊圍城戰(約公元前1194-1184年)到他所處時代的文學和政治事件的日期，奠定了西方世界年代學的基礎。

然而，他最出名的成就是他極其精確地計算了地球的圓周長，並認識到地球在宇宙中是一個球體，他運用簡單的幾何學和三角學計算出了地球圓周長。到亞里斯多德(公元前384-322年)時代，大多數希臘學者都認同地球是一個球體，但沒有人知道地球究竟有多大。

希臘學者是如何得知地球是球體的呢？他們觀察到，當船隻消失在地平線上時，桅杆依然清晰可見。他們在月蝕期間看到了地球在月球上投下的弧形陰影。他們也注意到天空中星星位置的變化。

埃拉托色尼在約公元前194年繪製的世界地圖的復原圖出自

E.H. Bunbury 1883年出版的「希臘羅馬古代地理史：從遠古時代到羅馬帝國衰亡」

 

測量地球

埃拉托色尼聽說在在南邊的塞恩(Syene，現今埃及的亞斯文，在尼羅河上游)有一口著名的水井。每年有一天的正午時分(夏至日，6月20日至22日之間)，陽光會直射到這口深井中，照亮井底的水，而不是像其他日子僅能照亮井壁，這證明了太陽當時正位於頭頂正上方。(塞恩位於北緯23.5º，這是太陽在正午時分直射頭頂的最北緯度)

埃拉托色尼在亞歷山大豎起了一根桿子，並在夏至日觀察到稈子投下了陰影，這證明了當天太陽並非正位於頭頂正上方，而是略偏南方。埃拉托色尼因此認識到地球是圓的，並根據兩地之間的距離，計算了地球的圓周長。

埃拉托色尼將與角度相對的直角邊(陰影的長度)除以與角度相鄰的直角邊(桿子的高度)來測量太陽光線與垂直方向的夾角。由此得出的角度為7.2º。根據幾何學定義(內錯角相等)〔註〕，這7.2º也正好是亞歷山大與塞恩之間，相對於地球圓心的夾角。

〔註〕來幫各位複習一下國中的三角幾何學：

1. 什麼是內錯角？

當一條斜線穿過兩條平行線時，會形成八個角。

「內錯角」指的是：

內部角：位在兩條平行線「之間」(內部)。

交錯角：位在截線的「兩側」(交錯)。

 

2. 為何會「相等」？

想像你正在走樓梯(截線)，每層階梯(平行線)與斜坡的夾角都是一樣的。

當兩條線平行時，它們的傾斜程度完全一致時。

截線在穿過這兩條線時，所切出的空間結構也是對稱的。

這種對稱性確保了左下方的內角會等於右上方的內角。

 

埃拉托色尼根據步測者測量的距離(他們接受過訓練，透過整齊的步伐來測量距離)，從亞歷山大到塞恩的距離為5,000 Stadia。而兩地的跨度7.2º相對於地球圓周360º的比例為1/50。那麼整個地球的圓周長就是：5,000 X 50 = 250,000 Stadia

 

埃拉托色尼計算的誤差來源

埃拉托色尼計算地球圓周最大的誤差來源，來自於他所採用的Sstadia距離單位，這是爭議最多的地方，由於Sstadia這個單位有不同的長度定義〔註〕，若以不同的長度定義計算，埃拉托斯特尼的結果若換算成公里：約在39,375 ~ 46,620公里之間(視單位換算而定)。

對比現代精確測量：約40,008公里(極周長)，科學家估算他的誤差率大約在1% ~ 15%之間。

〔註〕Sstadia這個詞源自古希臘語stadion，後來被拉丁語所吸收。

Stadion (單數)：指「一個單位」。

例如：這段路長度是1 stadion。

Stadia (複數)：指「距離長度」。

例如：兩座城市之間的距離是5,000 stadia。

所以在描述埃拉托斯特尼的計算時，因為距離是5,000個單位，使用Stadia會更符合語法邏輯；

關於Stadion的長度爭議

這正是為什麼埃拉托斯特尼的計算結果會有不同版本的原因。在古代「1 stadion」並非全球統一的長度標準：

希臘標準約185公尺(奧林匹亞運動場跑道的長度)

埃及標準約157.5公尺(許多學者認為埃拉托斯特尼身在埃及，應該是用這個單位)

這就是誤差的來源，如果用185公尺計算，地球周長會變成46,620公里(太大了)；如果用157.5公尺去算，結果是39,375公里，與現代測量值極度接近。

有趣的是，Stadion 這個詞也是現代英語Stadium (體育場)的來源。

在埃拉托色尼之後一個世紀，希臘天文學家羅德島的波西多尼烏斯(Posidonius，約西元前135-51年)也計算了地球的周長。波西多尼烏斯是以老人星(Canopus)做為參照物：當這顆星位在羅德島地平線上時(高度為0º)時，它在亞歷山大港地平線上方7.5º(相當於地球圓周的1/48)

這時，作為計算參數，他需要羅德島到亞歷山大港的直線距離，但他面臨一個大問題：

這兩地之間隔著地中海，無法像埃拉托斯特尼那樣請「步測員」精準步行測量。所以他起初基於航海經驗估算出的「海路距離」是5,000 stadia(約800公里)：800 X 48 = 38,400公里。(非常接近40,008公里的標準答案)

然而，波西多尼烏斯後來認為5,000 stadia的估計值可能太大了，他修正的原因主要是：

航線偏差：古代帆船航行並非直線，且受海流影響。所以他認為之前的數據可能高估了兩地間的緯度差。

權威影響：當時有些測繪資料顯示這兩地的距離其實更短。

最後他決定採用當時另一位地理學家斯特拉波(Strabo)認可的較小數值：3,750 stadia。結果得出的地球圓周數值約29,000公里，比地球的實際週長小了約28%。

而250年後，當時學界的「權威巨頭」托勒密，他在編寫對後世影響深遠的「地理學」時，捨棄了早期埃拉托斯特尼較準確的數據，選擇了波西多尼烏斯這個較小的數值。因此，雖然波西多尼烏斯是「算錯」的人，但托勒密才是那個「把錯誤印在教科書裡」的人。在中世紀與文藝復興時期，歐洲人將托勒密的著作視為地理學的聖經。所以這個錯誤的地球圓周數據被「冷凍保存」了1,500年之久都無人質疑過。

 

對後世的影響：

1,300年之後的哥倫布，正是研讀了托勒密的「地理學」，誤以為地球的圓周很小，才給了哥倫布樂觀越洋的勇氣。如果哥倫布當時知道地球其實有四萬公里那麼大，他可能根本不敢帶著三艘小船橫跨大西洋。換句話說，哥倫布是帶著「一個正確的角度」和「一個錯誤的距離」的誤會出發的，托勒密對地球圓周的數據，讓他誤以為亞洲就在大西洋對岸不遠處。

哥倫布的故事最有趣的地方在於，他不僅「誤信」那個「縮水」的地球圓周長，還在航程計算中犯了第二個「單位換算」的錯誤。

哥倫布在規劃航程時，做了兩個非常大膽且錯誤的假設：

地理錯誤：他誤以為地球很小。

單位錯誤：哥倫布在閱讀阿拉伯天文學家阿爾-法甘尼(Al-Fraganus)的著作時，他誤以為書中用的距離單位「阿拉伯里」(Arabic Mile)是指他所熟悉的「羅馬里」(Roman Mile)。(哥倫布是義大利人)

阿拉伯里 ≈ 1,973公尺

羅馬里 ≈ 1,480公尺

阿拉伯里比羅馬里長約25%。

結果：哥倫布算出來的地球圓周長，又比原本就縮水的數值再小了一圈。

根據哥倫布的計算，從西班牙向西航行到日本的距離大約只有3,700公里。

實際上：這段直線距離超過19,000公里。

如果哥倫布當年沒有及時撞上了巴哈馬群島，恐怕就是個全軍覆滅的結局，然而他到死都堅信自己是到達了印度(Indies)，這就是為什麼加勒比海群島被稱為「西印度群島」，而美洲原住民被稱為「印第安人」(Indians)的原因。