無理數

無理數(irrational number)是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數，即無限不循環小數。 如圓周率、2的平方根等。

實數（real number)分為有理數和無理數。

區別︰

1. 把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成有限小數和無限循環小數，例如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數只能寫成無限不循環小數，例如√2=1.414213562…………根據這一點，我們把無理數定義為「無限不循環小數」。

2. 所有的有理數都可以寫成兩個整數之比；而無理數不能。

歷史故事︰

畢達哥拉斯（Pythagqras，約西元前885年至西元前400年間），從小就很聰明，一次他背著柴禾從街上走過，一位長者見他捆柴的方法與別人不同，便說︰「這孩子有數學奇才，將來會成為一個大學人。」他聞聽此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯門下去求學。畢達哥拉斯本來就極聰明，經泰勒一指點，許多數學難題在他的手下便迎刃而解。其中，他證明了三角形的內角和等於180度；能算出你若要用瓷磚鋪地，則只有用正三角、正四角、正六角三種正多角磚才能剛好將地鋪滿，還證明了世界上只有五種正多面體，即︰正4、6、8、12、20面體。他還發現了奇數、偶數、三角數、四角數、完全數、友數，直到畢達哥拉斯數。然而他最偉大的成就是發現了後來以他的名字命名的「畢氏定理」（勾股弦定理），即︰直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和等於以斜邊為邊長的正方形的面積。據說，這是當時畢達哥拉斯在寺廟裡見工匠們用方磚鋪地，經常要計算面積，於是便發明了此法。

畢達哥拉斯將數學知識運用得純熟之後，覺得不能只滿足於用來算題解題，於是他試著從數學領域擴大到哲學，用數的觀點去解釋一下世界。經過一番刻苦實踐，他提出「凡物皆數」的觀點，數的元素就是萬物的元素，世界是由數組成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。畢達哥拉斯還在自己的周遭建立了一個青年兄弟會。在他死後大約200年，他的門徒們把這種理論加以研究發展，形成了一個強大的畢達哥拉斯學派。

一天，學派的成員們剛開完一個學術討論會，正坐著游船出來欣賞山水風光，以驅散一天的疲勞。這天，風和日麗，海風輕輕的吹，蕩起層層波浪，大家心裡很高興。一個滿臉鬍子的學人看著遼闊的海面興奮地說︰「畢達哥拉斯先生的理論一點都不錯。你們看這海浪一層一層，波峰浪谷，就好像奇數、偶數相間一樣。世界就是數字的秩序。」「是的，是的。」這時一個正在搖槳的大個子插進來說︰「就說這小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一個精確的數字。一切事物之間都是可以用數字互相表示的。」

「我看不一定。」這時船尾的一個學人突然提問了，他沉靜地說︰「要是量到最後，不是整數呢？」

「那就是小數。」「要是小數既除不盡，又不能循環呢？」

「不可能，世界上的一切東西，都可以相互用數字直接準確地表達出來。」

這時，那個學人以一種不想再爭辯的口氣冷靜地說︰「並不是世界上一切事物都可以用我們現在知道的數來互相表示，就以畢達哥拉斯先生研究最多的直角三角形來說吧，假如是等腰直角三角形，你就無法用一個直角邊準確地量出斜邊來。」

這個提問的學人叫希帕索斯（Hippasus)，他在畢達哥拉斯學派中是一個聰明、好學、有獨立思考能力的青年數學家。今天要不是因為爭論，還不想發表自己這個新見解呢。那個搖槳的大個子一聽這話就停下手來大叫著︰「不可能，先生的理論置之四海皆準。」希帕索斯眨了眨聰明的大眼，伸出兩手，用兩個虎口比成一個等腰直角三角形說︰

「如果直邊是3，斜邊是幾？」

「4。」

「再準確些？」

「4.2。」

「再準確些？」

「4.24。」

「再準確些呢？」

大個子的臉漲得緋紅，一時答不上來。希帕索斯說︰「你就再往後數上10位、20位也不能算是最精確的。我演算了很多次，任何等腰直角三角形的一邊與餘邊，都不能用一個精確的數字表示出來。」這話像一聲晴天霹靂，全船立即響起一陣怒吼︰「你敢違背畢達哥拉斯先生的理論，敢破壞我們學派的信條﹗敢不相信數字就是世界﹗」希帕索斯這時十分冷靜，他說︰「我這是個新的發現，就是畢達哥拉斯先生在世也會獎賞我的。你們可以隨時去驗証。」可是人們不聽他的解釋，憤怒地喊著︰「叛逆﹗先生的不肖門徒。」「打死他﹗批死他﹗」大鬍子沖上來，當胸給了他一拳。希帕索斯抗議著︰「你們無視科學，你們竟這樣無理﹗」「捍衛學派的信條永遠有理。」這時大個子也沖了過來，猛地將他抱起︰「我們給你一個最高的獎賞吧﹗」說著就把希帕索斯扔進了海裡。藍色的海水很快淹沒了他的軀體，再也沒有出來。這時，天空飄過幾朵白雲，海面掠過幾只水鳥，一場風波過後，這地中海海濱又顯得那樣寧靜了。

一位很有才華的數學家就這樣被專制度學閥們毀滅了。但是這倒真使人們看清了希帕索斯的思想價值。這次事件後，畢達哥拉斯學派的成員們確實發現不但等腰直角三角形的直角邊無法去量準斜邊，而且圓的直徑也無法去量盡圓周，那個數字是3.1415926535897932384626…更是永遠也無法精確。慢慢地，他們感覺後悔了，後悔殺死希帕索斯的無理行動。他們漸漸明白了，明白了直覺並不是絕對可靠的，有的東西必須靠科學的證明；他們明白了，過去他們所認識的數字「0」，自然數等有理數之外，還有一些無限的不能循環的小數，這確實是一種新發現的數─應該叫它「無理數」。這個名字反映了數學的本來面貌，但也真實的記錄了畢達哥拉斯學派中學閥的蠻橫無理。

由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀。1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的「分割」來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為「無理」的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。

本文摘自「百度網」