音律學

音律學

尚作仁船長 著

 

你精通「音律」嗎？

我們常用「精通音律」來形容某人對音樂或某種樂器演奏很在行。其實人們都誤會了「音律」的定義，以為「音律」就是指「音樂與旋律」。嚴格說起來，「精通音樂」的人不在少數，但是「精通音律」的人可能不太多，究竟「音樂」與「音律」有何區別呢？

「音樂」跟「音律」在專業上是有很大差別的，懂「音樂」的人很多(不希罕啦)，懂「音律」的人可算是稀有動物，因為據我的了解，精通音樂又精通數學的人似乎不多見，而「音律學」可說是音樂界的數學，若是還能精通物理的話(別忘了音樂就等於物理聲學的應用)，那這種人簡直就是鳳毛麟角堪稱「國寶」了，而研究「音律學」就必須精通音樂、數學與物理。

音律學可不是什麼新鮮的學問，人類自古就有人開始研究了，各民族皆然，中國歷史有記載：西周時代，周公制禮作樂。「制禮」是規定禮俗典章制度，這個大家都懂，可是「作樂」各位可別誤會是「作曲」，它指的其實是「制定音律」，從西周出土的「編鐘」可以證明中國人在3000年前，就已經將音樂的基本元素「音階」定了調。

音律學又名「律學」，是研究音階的音高(pitch)定位與各音程差異的數理邏輯關係的科學。它是與物理聲學(音響學)、數學和音樂學互相有關的一門綜合學科。在音樂上的應用包括：旋律音程的架構與音準；調式與和聲理論中的和諧原則；多聲部縱向結合時的各種音程關係；樂曲轉調(中國叫「旋宮」)；樂器製造及調律中的音準與音位的確定；重唱重奏、合唱合奏中的音準調節，都與音律學有直接關係。

記載中國各朝代歷史的「廿四史」，每一朝代除了「樂志」外，都還有「律志」或「律書」及「律歷志」之類的專章，用以記述該朝代對於「音律」的制定與研究發展，因此，從中國古代對於音律學研究的大量歷史遺產，可以證明音律學在中國文化、學術史上的重要地位。

所有的音樂旋律都是由「音階」組成的，如同拉丁語系的文字是由「字母」組成，日文是由「五十音」組成的一樣。不同的音階結構，就會產生完全不同的音樂風格(聽得出中東音樂、印度音樂跟中國音樂的差異吧)，這都是因為不同的音階結構所造成的差異。

在一個音階系統裡，每一個音高的音程差異(各音高之間的差距)是不相同的，有些人會覺得很奇怪，音階高低如同樓梯，如果每一階的高度不平均，那上下樓梯不是很不方便，但是各位可能沒有想過，如果每個音階的音程距離都是相等的，那就像一條每個階梯間隔都一樣的樓梯，當你開始向上爬、再向下走，來回走個幾趟後，你是否還能分辨出哪一階才是你初始的那一階。所以在一個音階系統中，音程是有變化的，並不是每個音程的距離都一樣的，這就等於在樓梯上做了記號，不管你爬多高或下多低，最後你總是能找到初始的那一階。

有人可能要問，我幹嘛一定要回到初始的那一階啊？好問題，你問到「調性音樂」的核心問題了，音樂有分「調性音樂」與「無調性音樂」兩大類，通常能讓你百聽不厭、感動得痛哭流涕或雄壯威武振奮人心的音樂全都是「調性音樂」，一般人的耳朵能夠接受的「悅耳」音樂都屬於「調性音樂」，我敢打賭，各位這輩子所聽過的音樂大概百分之九十九都屬於「調性音樂」，「調性音樂」就是一般人所謂的「音樂」。

「無調性音樂」起源於20世紀初期，是現代主義音樂的創作手法之一，它的特點為無主音或主和弦，無調號，無調式特性，半音階的各音均可自由應用，儘可能不採用傳統的和弦架構，避免能產生調性作用的和聲進行。這種音樂對我個人來說是屬於「噪音」，不知道各位的耳朵是否聽得下去。

無調性音樂就等於樓梯每一階的間隔完全相等，隨便你跑上、跑下，不用管起始點，因為也沒人規定你一定要回到起始點才能結束。調性音樂的特點就是由主音或主和絃開始(起始點)，最後回到主音或主和絃結束，所以在調性音樂裡，決定起始點(主音)的位置，是非常重要的。

 

音階又是怎麼產生的？

這也是一個「大」問題，中國音律史上最早出現律學理論的，大約出現於春秋中期的「管子」地員篇：「…….凡將起五音，凡首，先主一而三之(等於4)。四開(3的四次方)以合九九(等於81)，以是生「黃鐘」小素(唱名)之首以成「宮」，三分而益之以一(81×(4/3)=)，為百有八(等於108)，為「徵」，不無有三分而去其乘，適足，以是生「商」(108×(2/3)=72)，有三分而復於其所，以是成「羽」(72×(4/3)=96)，有三分去其乘，適足，以是成「角」(96×(2/3)=64)…….」根據這段文字的記載，「宮、商、角、徵、羽」五音的律數為：

宫(黄鐘)：(1×3×3×3×3)=81

徵：81×4/3=108

商：108×2/3=72

羽：72×4/3=96

角：96×2/3=64

到了戰國末期(公元前239年)，「吕氏春秋」仲夏紀．古樂篇：「昔黃帝令伶倫作為律。伶倫自大夏之西，乃之阮隃之陰，取竹於嶰谿之谷，以生空竅厚鈞者、斷兩節間、其長三寸九分而吹之，以為黃鐘之宮…..」。翻成白話：黃帝派了一位名叫倫的樂工，遠赴「大夏之西，阮隃之陰」，選取「空竅厚鈞」的竹子，截成「三寸九分」長度，其竹管吹出的聲音作為「黃鐘之宮」。黃鐘為中國古代十二律之首，相當於現代音樂中的音名C，是音律計算的基準。

根據物理聲學的定義，頻率與音高成正比，而頻率又與長度成反比關係。因此，如果物體的材質固定，則長度愈長頻率越低，也就是說音高愈低。除此之外，當長度減為一半時，頻率將變為原先的兩倍；長度增成為原先的兩倍時，頻率將降為原先的一半。我們將這種互為二倍數的特殊比例，定義為「八度音」。所以「三分損」(基準音的2/3)與「三分益」(基準音的4/3)，彼此之間正好是一個「八度音」的關係(因為比例4/3是2/3的兩倍)。因此，我們便可以從九九八十一的長度出發，藉由「三分損益」的公式求得「十二律」的音高。每一個音高的詳細計算式我看就免了，直接看計算結果得了。

「管子」地員篇與「呂氏春秋」古樂篇所記載的生律法，稱為「三分損益律」，用這種方法可推算出12個音，稱「十二律」，每個音律有固定的律名，即︰

黃鐘－C

大呂－#C

太簇－D

夾鐘－#D

姑洗－E

仲呂－F

蕤賓－#F

林鐘－G

夷則－#G

南呂－A

無射－#A

應鐘－B

清黃鐘－高八度C

根據上述的物理定律，起始音「黃鐘」的長度如果是81的話，它的高八度音「清黃鐘」，其長度應該是「黃鐘」的一半(40.5)。可是如果是按照「三分損益」的計算結果，計算長度的結果卻是39.9546，與40.5有一段小小的差異，這就是讓古今中外音律學家煩惱了上千年的「黃鐘不能還原」的問題。因為在連乘十二次2/3或4/3後，最後的值不可能達到原始的1/2。

此外，若不斷使用「三分損益」作定律計算，最後一定會出現除不盡的小數，使得在「定律」上容易產生「音準」誤差。然而在實務上，經過十二次的三分損益之後，已經勉強可以構成一個「不甚完美」的音階循環。這也是為何中西音樂理論中，都不約而同地發展出以「十二音階」(十二律)為主流的原因。

希臘數學祖師爺畢達哥拉斯(Pythagoras約公元前580—公元前501)也得出相同的結論，相傳他從打鐵鋪與單弦琴的弦長比例得到靈感，發現弦長成簡單整數比例時，發出來的聲音是和諧悅耳的，他將某一基準音向上推一個純五度音(基準音的2/3)，產生次一律，再由次一律向上推一純五度音，產生再次一律，如此繼續相生定出的音律叫做「五度相生律」(自然音律)。

畢氏音階弦長比例：

C=1, D=8/9, E=64/81, F=3/4, G=2/3, A=16/27, B=128/243, 高八度C=1/2

雖然畢達哥拉斯將音階的標準音高定了調，但是畢氏所推算出來的音階在實際應用上也遇到跟中國「三分損益律」相同的問題。因為畢達哥拉斯利用「五度相生律」來定義的音階，理論上從基準音升高五度音12次之後應該與八度音升高7次所得到的音高是相同的，但是實際上的結果卻非如此，這是因為基準音與五度音比例2/3中的分母3與八度音比例1/2中的分母2是互質的(無法整除)，古希臘律學研究者也發現了這個「音差」問題並稱之為「畢氏音差」。這使得「畢氏音階」同樣面臨「黃鐘不能還原」的惱人問題。

此外，畢氏音階的大三度音與基準音比例(64/81)和小三度音比例(32/27)，在人耳的聽覺上是有些不和諧的，後來偉大的希臘天文學家「托勒密」(C. Ptolemy，85-165 A.D.)利用「自然音程」的比例(大三和絃的弦長比例15：12：10，頻率比4：5：6)修正了畢氏音階大三度和小三度的比例，這個和絃形式的音律結構稱為「純律」。

純律之弦長比：

C=1, D=8/9, E=4/5, F=3/4, G=2/3, A=3/5, B=8/15, 高八度C=1/2

畢氏音階弦長比例：

C=1, D=8/9, E=64/81, F=3/4, G=2/3, A=16/27, B=128/243, 高八度C=1/2

各位比較上面「純律音階」的弦長比例與「畢氏音階」的弦長比例，可以發現純律音階的比例更加簡潔。因此，修正過後的純律音階更加貫徹了畢氏所推崇的「調和就是簡單整數比」的原則。

 

從「弦長比例」到「頻率週期」

人類對於「音律學」的研究隨著物理與數學的理論發展，從早期的測量發音物體(如竹管、絲弦等)的長度比例關係來計算音程，演變到更精密的以單位時間內的振動次數(頻率)來定義音高，音程之間的關係也從「弦長比」改為「頻率比」來計算。例如，相距純五度的兩個音，較高音的頻率與較低音的「頻率比」為3：2=3/2。這個比值若是採用「弦長比」的話其數值正好顛倒(2/3)，但是「意義相同」，因為頻率與長度成反比，所以其實他們所代表的意義是完全一樣的。到了現代，音高的定義又從「頻率比」改為「振動週期」。例如音高「A」的振動頻率為每秒鐘440次，其振動週期為每次1/440秒，這也就是單位時間中的波長。

純律的頻率比：

C=1, D=9/8, E=5/4, F=4/3, G=3/2, A=5/3, B=15/8, 高八度C=2,

純律的弦長比：

C=1, D=8/9, E=4/5, F=3/4, G=2/3, A=3/5, B=8/15, 高八度C=1/2

有沒有注意到「頻率比」與「弦長比」的分數正好相反，但是意義是完全一樣的。

無論用長度比、頻率比還是週期比，在比較兩個音程的高低時，必須透過乘法或除法計算來比較何者較高、高多少，而兩音程相加減，則又必須作乘除運算。一個音程擴大到多少倍、劃分成多少等分，則要作乘方、開方運算。學音樂的人大概永遠也搞不清楚這些複雜的計算式。中外歷史上對於「黃鐘不能還原」(意即高八度音程不相等於低八度音程)的音律問題，奮鬥了上千年的歷史，其中不乏許多知名的物理學家與數學家都曾試圖解決這個問題，否則調性音樂的轉調問題，樂器製作與定音的問題都無法解決。

這其中各種音律理論與計算方式相信各位大概也沒興趣研究，所以略過。最終，在經歷了漫長的摸索和嘗試，到了我國明朝時期，終於有一個皇族世子叫「朱載堉」（1536 - 1611），他利用珠算開方的計算方式，求得律制上的等比例數據，第一次解決了「十二律」音階自由轉調的千古難題，實現了千餘年來無數音律學家夢寐以求的理想。他的「新法密率」是人類科學史上最重要的發現之一。

 

朱載堉這個「偉人」我一定要特別的介紹一下：

據「明史」藝文志記載，他的一生共著有「樂律全書」四十卷、「嘉量算經」三卷、「律歷融通」四卷、「音義」一卷、「萬年歷」一卷、「萬年歷備考」二卷、「歷學新說」二卷等，內容涉及音樂、天文、曆法、數學、舞蹈、文學等，是一個可以與李時珍、宋應星、徐光啟、徐霞客齊名的重量級科學家，同時也是一位大百科全書式全方位的學者。在他多達百萬字的著述中，尤以「樂律全書」最為著名。

朱戴堉的「十二平均律」理論後來被西方傳教士帶回到歐洲，對於歐洲的音律學產生了深遠的影響，「王子朱載堉」的名聲也隨之享譽歐洲。可惜他的偉大發明在中國卻反而並未受到重視，他積終生所學而著的「樂律全書」最終遭到束之高閣命運，並未對後來中國的音樂史產生任何影響。

我們也可以翻翻任何一本歷史教科書，無論是國小的或是中學的，很容易看到李時珍、宋應星、徐光啟、徐霞客這些人的成就，卻找不到朱載堉的名字，他的偉大發明在中國沉睡了四百多年，到現在仍然不為人知。不信？你可以隨便問問學音樂的人，最早發明「十二平均律」的人是誰？大概沒有幾個人能「猜」得出是咱們老祖宗發明的。誠如某外國學者所言：「這真是不可思議的諷刺」。

宣傳過「朱載堉」豐功偉業之後，我們重新回到「十二平均律」的問題。世界不同民族的音樂體系，從各別的自然音律傳統為起點，分別歷經艱辛的探索過程，最後殊途同歸的趨於類似的平均音律制(因為人類的耳朵音感都是差不多的)。在中國，是從「三分損益律」的傳統出發，為彌合古代音差的縫隙，由朱載堉在16世紀後半葉（1584年以前）提出了十二平均律的精密數據(新法密率)。在歐洲，是在純律大量實踐的基礎上，為了解決畢氏音差所造成的繁雜和中庸全音律所遇到的困難，由荷蘭數學家兼工程師斯蒂文(Stevin 1548～1620)以及法國音樂理論家梅爾塞訥(Pere Marin Mersenne)在1636年所著「和聲通論」中發表過相似的理論。在阿拉伯音樂系統，則從長期運用中立音程的傳統出發，為了解決中立音程的實際演奏與固有理論律制的抵觸，由穆沙加在1888年提出二十四平均律律制，將十二平均律包含在內作了進一步的發展。(以上各民族對於「十二平均律」的演化詳細過程在此不贅述)

「十二平均律」的定義就是將「八度音」的音程平均分成十二個音階(C, #C, D, #D, E, F, G, #G, A, #A, B, 高八度C)，每一個音高的頻率為前一個音的12√2的1.059463094倍，每一個音階差我們稱為一個「半音」，十二個音高差異平均的「半音」，就可以讓12個調性圓滿轉換，每個音階都可以吻合應用。此外，因為「平均律」的發明，才使得樂器之王「鋼琴」這個音域寬廣、構造複雜的樂器得以製造出來。德國音樂家巴哈就以此十二平均律，編寫了十二個調式，總共24個大小調（每一個調都各有一大小調）的鋼琴樂曲集，可謂十二平均律完整樂曲之始，也被喻為鋼琴的舊約聖經（新約聖經是貝多芬的32首鋼琴奏鳴曲）。

其實三種律制在實際的應用上各有其長處，「五度相生律」是根據純五度定律的，因此在旋律的先後結合上自然協調，適用於單音音樂。「純律」是根據自然三度和弦而定律，因此在多聲部和聲上純正而和諧，適用於和聲音樂。但是隨著音樂形式的複雜化，多聲部音樂的發展，轉調的頻繁，再加上鍵盤樂器在演奏純律上的困難，因此上述兩種「自然音律」在音樂創作上受到很大限制。

「十二平均律」在旋律的先後結合與和聲結合上雖然不是那麼純正自然，但是由於它轉調方便，在鍵盤樂器的演奏和製造上也有著許多優點，因此近百年來被廣泛採用。現代的樂器除了無「品相」樂器外(音高可以自由控制的樂器，例如各種提琴、伸縮喇叭)，凡是固定音高的樂器其音高完全是採用「十二平均律」的音階來定調的，因此現代音樂演奏也普遍遵循「十二平均律」的和聲對位。但是平均律的普遍使用並非意味著用來取代、排斥或消除「自然音律」，僅是因為它接近自然音律，因此它的各種音程可以「視為」自然音程來感受而已。

現代人從小就是聽以「十二平均律」演奏的音樂長大的，所以我們的耳朵已經習慣了平均律的音階，可是當我們聽到無伴奏的人聲重唱曲時，會有一種十分美妙的和諧感，各聲部完美的融合，不禁讓人感動得起雞皮疙瘩，這是因為人聲重唱時使用的是「純律」音階，所以每一聲部的音階都能緊密的接合(match)，這種人聲重唱音樂絕對不能有鋼琴伴奏，因為只要平均律的樂器一進來，純律的完美和諧就被破壞掉了。

希臘數學家「畢達哥斯拉」畢生致力於和諧完美，可是上帝開了他一個大玩笑，一個「無理數」問題，讓數學界困擾了兩千多年，「畢氏音階」黃鐘不能還原的問題也讓音樂界頭痛了兩千年。人的耳朵對於「音階」的感受自有一套自然和諧的定律，只是這種自然定律要把它轉化成人工的樂器就碰到許多技術上的障礙，現在通用的「十二平均律」並不是自然音律，而是為了遷就和聲轉調、樂器製作與演奏所產生的「人工音階」，它的和諧度並非完美，只是人的耳朵習慣了「有一點不和諧」的音階之後，也就不覺得它是「噪音」了。

 

後記：

看過本篇文章之後，應該對音律算是有了基本的認識，不過這篇文章我寫得特別辛苦，前前後後重寫了三次。第一次滿篇的數學公式還加上波形圖，我自己看了都嚇一跳，這種文章啃不動啊，太硬了！所以費盡心思的想辦法刪除可怕的數學，不過非常困難，因為談音律學就等於「音樂的數學」理論。好不容易修改第二次之後，放了兩天再看一遍，還是覺得很難嚥得下去，於是再用力的刪，刪到最後只剩下計算結果的「分數」，至於這些數據是如何算出來的一律不提，這樣導致文章中有很多「精彩」且學術含金量很高的內容被忍痛犧牲。

因此，內行人看我這篇文章可能會覺得不值一哂，可是我這篇文章本來就是要寫給外行人看的，需要作音律學術研究的人，網路上有許多寫得「高深莫測」的學術論文可資參考，可別拿我這篇不登大雅的雜文來找碴。